अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इनमें ऐसी दशमलव संख्याएँ शामिल होती हैं जो न समाप्त होती हैं और न आवर्ती होती हैं। कुछ सामान्य अपरिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
- π (पाई): यह वृत्त की परिधि और व्यास के अनुपात को व्यक्त करती है। π की मान लगभग 3.14159 है, और यह अनंत दशमलव स्थानों तक जाती है।
- 21/2 (दो का वर्गमूल): यह वह संख्या है जिसका वर्ग 2 होता है। इसका दशमलव रूप 1.41421… तक अनंत है।
- e (ओयलर संख्या): यह प्राकृतिक लघुगणक का आधार है और इसका मान लगभग 2.71828 है। e भी अनंत दशमलव स्थानों तक जाती है।
अपरिमेय संख्याएँ गणित में बहुत महत्वपूर्ण होती हैं और विभिन्न गणितीय और भौतिक समस्याओं में उपयोग होती हैं।
अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) क्या हैं?
अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न (fraction) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इसका अर्थ है कि इन्हें दो पूर्णांकों (integers) के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। अपरिमेय संख्याओं के दशमलव निरंतरता (decimal expansion) में कोई समापन नहीं होता और न ही वे आवर्ती होती हैं।
अपरिमेय संख्याओं (Irrational Numbers) के उदाहरण
| अपरिमेय संख्या | मान |
|---|---|
| π | 3.14159265…. |
| इ (e) | 2.7182818….. |
| √2 | 1.414213562… |
| √3 | 1.73205080… |
| √5 | 2.23606797…. |
| √7 | 2.64575131…. |
| √11 | 3.31662479… |
| √13 | 3.605551275… |
| -√3/2 | -0.866025…. |
| ∛47 | 3.60882608 |
नोट – √अभाज्य संख्या सदैव एक अपरिमेय संख्या देती है।
नोट- परिमेय संख्याएँ (Q) और अपरिमेय संख्याएँ (P या Q’) सदैव एक-दूसरे के साथ वैकल्पिक होती हैं।
अपरिमाये संख्याओं की विशेषताएँ
- अपरिमेय संख्याओं को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो।
- इनकी दशमलव संख्या अनंत तक जाती है और कभी आवर्ती (repeating) नहीं होती।
- किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मौजूद हो भी सकता है और नहीं भी।
- दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणन परिमेय हो सकता है; उदाहरण के लिए, √2. √2 = 2. यहाँ, √2 एक अपरिमेय संख्या है। यदि इसे दो बार गुणा किया जाए, तो प्राप्त अंतिम गुणनफल एक परिमेय संख्या है। (अर्थात) 2.
अपरिमाये संख्याओं का गणित में महत्त्व
- अपरिमेय संख्याएँ गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, विशेष रूप से ज्यामिति, गणितीय विश्लेषण, और संख्याओं के सिद्धांत में।
- कई प्राकृतिक घटनाओं और गणितीय कार्यों का वर्णन अपरिमेय संख्याओं के माध्यम से किया जाता है।
अपरिमेय संख्याएँ गणितीय दुनिया का एक महत्वपूर्ण और रोचक हिस्सा हैं, जो गणितीय समस्याओं को गहराई और जटिलता प्रदान करती हैं।
अपरिमेय संख्या की पहचान कैसे करें?
हम जानते हैं कि अपरिमेय संख्याएँ केवल वास्तविक संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। उदाहरण के लिए, √ 5 और √ 3, आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं। दूसरी ओर, वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसे कि, p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, परिमेय संख्याएँ हैं। अपरिमेय संख्याओं की पहचान करने के लिए यहाँ कुछ तरकीबें दी गई हैं।
- जो संख्याएँ पूर्ण वर्ग , पूर्ण घन आदि नहीं हैं, वे अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए √2, √3, √26, आदि अपरिमेय हैं। लेकिन √25 (= 5), √0.04 (=0.2 = 2/10), आदि परिमेय संख्याएँ हैं।
- वे संख्याएँ जिनका दशमलव मान गैर-समापनीय और गैर-पुनरावर्ती पैटर्न है, अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए √2 = 1.4142135623730950488016887242097…. अपरिमेय है, जबकि 1/7 = 0.14285714285714285714285714285714… परिमेय है क्योंकि हम देख सकते हैं कि “142857” दशमलव भाग में बार-बार दोहराया जा रहा है।
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इन्हें भी देखें –
- परिमेय संख्या | Rational Numbers
- प्राकृतिक संख्या | Natural Numbers
- संख्याएँ | Numbers
- पूर्णांक | Integers
- भिन्न | Fraction
- लाभ और हानि | Profit and Loss
- भारतीय संसद | लोक सभा और राज्य सभा | संरचना और कार्य प्रणाली
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