परिमेय संख्या | Rational Numbers

परिमेय संख्याएँ गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। इन संख्याओं को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इन्हें एक भिन्न (fraction) के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों ही पूर्ण संख्याएँ हों, तथा हर शून्य (Zero) के बराबर न हो।

परिमेय संख्या की परिभाषा | Definition of Rational Numbers

परिमेय संख्या (Rational Number) वह संख्या है जिसे दो पूर्णांकों (integers) के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें हर अनुपात p/q के रूप में होता है, जहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं और (q \neq 0) होता है। इसे संक्षेप में इस प्रकार भी कहा जा सकता है:

• परिमेय संख्या = p/q ​जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0
• अनुपात p/q को और अधिक सरलीकृत करके दशमलव रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

• 1/2
• -3/4
• 5 (जिसे 5/1 के रूप में लिखा जा सकता है)

P	Q	P/q	तर्कसंगत
1	2	1/2 = 0.5	तर्कसंगत
-3	4	-3/4 = -0.75	तर्कसंगत
5	1	5/1 = 5	तर्कसंगत

ये सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं के प्रकार

परिमेय संख्याओं को कई प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। मुख्यतः इनका वर्गीकरण निम्नलिखित प्रकार से किया जाता है:

• पूर्णांक (Integers) (Z): वे संख्याएँ जो दशमलव या भिन्न रूप में नहीं होती हैं। इन्हें p/1​ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p कोई भी पूर्णांक हो। उदाहरण:
  • 5 (जिसे 5/1​ लिखा जा सकता है)
  • −3 (जिसे −3/1 लिखा जा सकता है)
  • 0 (जिसे 0/1​ लिखा जा सकता है)
• साधारण भिन्न (Proper Fractions): वे परिमेय संख्याएँ जिनमें हर संख्या को p/q​ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और 0 < p < q।
  • उदाहरण: 1/2, 3/4, −2/5
• असाधारण भिन्न (Improper Fractions): वे परिमेय संख्याएँ जिनमें हर संख्या को p/q​ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और p ≥ q।
  • उदाहरण: 5/3, 7/4, −9/2
• मिश्र भिन्न (Mixed Fractions): वे परिमेय संख्याएँ जो एक पूर्णांक और एक साधारण भिन्न के संयोजन से बनी होती हैं।
  • उदाहरण: 1(1/2) (जो 3/2 ​के बराबर है), 2(3/4) (जो 11/4 ​के बराबर है)

परिमेय संख्याओं का मानक रूप

किसी परिमेय संख्या का मानक रूप तभी परिभाषित किया जा सकता है जब उसके भाजक और लाभांश के बीच एक के अलावा कोई सामान्य कारक न हो और इसलिए भाजक धनात्मक हो।

उदाहरण के लिए, 12/36 एक परिमेय संख्या है। लेकिन इसे 1/3 के रूप में सरलीकृत किया जा सकता है; भाजक और लाभांश के बीच सामान्य कारक केवल एक है। इसलिए हम कह सकते हैं कि परिमेय संख्या 1/3 मानक रूप में है।

धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ

जैसा कि हम जानते हैं कि परिमेय संख्या p/q के रूप में होती है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं। साथ ही, q एक शून्येतर पूर्णांक होना चाहिए। परिमेय संख्या या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है। यदि परिमेय संख्या धनात्मक है, तो p और q दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि परिमेय संख्या -(p/q) का रूप लेती है, तो p या q में से कोई एक ऋणात्मक मान लेता है। इसका मतलब है कि -(P/Q) = (-P)/Q = P/(-Q).

धनात्मक परिमेय संख्याएँ	ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ
यदि अंश और हर दोनों समान चिह्न के हों।	यदि अंश और हर विपरीत चिह्नों के हों।
सभी 0 से बड़े हैं	सभी 0 से छोटे हैं
धनात्मक परिमेय संख्याओं के उदाहरण: 2/17, 9 और 3/5	ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के उदाहरण: -2/17, 9/-1 और -3/5.

परिमेय संख्याओं की पहचान कैसे करें?

निम्नलिखित विशेषताओं की सहायता से परिमेय संख्याओं को आसानी से पहचाना जा सकता है।

• सभी पूर्णांक, पूर्ण संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्णांक वाली भिन्नें परिमेय संख्याएँ हैं।
• यदि संख्या का दशमलव रूप अंत या आवर्ती है जैसा कि 5.6 या 2.141414 के मामले में है, तो हम जानते हैं कि वे परिमेय संख्याएँ हैं।
• यदि दशमलव कभी समाप्त न होने वाले या गैर-पुनरावर्ती प्रतीत होते हैं, तो इन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहा जाता है। जैसे कि √5 जो कि 2.236067977499789696409173… के बराबर है, जो एक अपरिमेय संख्या है।
• परिमेय संख्याओं को पहचानने का एक अन्य तरीका यह देखना है कि क्या संख्या को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q 0 के बराबर नहीं है।

• उदाहरण: क्या 0.923076923076923076923076923076… एक परिमेय संख्या है?
  • हल: दी गई संख्या में दशमलवों का एक समूह 923076 है जो आवर्ती है और लगातार दोहराया जाता है। इस प्रकार, यह एक परिमेय संख्या है।
• उदाहरण: क्या √2 एक परिमेय संख्या है?
  • हल: यदि हम √2 का दशमलव मान लिखते हैं तो हमें √2 = 1.414213562 मिलता है….जो एक अनवसानी और अनावर्ती दशमलव है। इसलिए, यह एक परिमेय संख्या नहीं है। यह एक अपरिमेय संख्या है।

परिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

परिमेय संख्याओं पर विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाएँ की जा सकती हैं। ये संक्रियाएँ हैं जोड़, घटाना, गुणा और भाग। आइए इन संक्रियाओं को विस्तार से समझते हैं:

1. जोड़ (Addition)

• दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए: a/b +c/d = ad+bc/bd
• उदाहरण:  1/2 + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6

2. घटाना (Subtraction)

• दो परिमेय संख्याओं को घटाने के लिए: a/b – c/d = ad – bc/bd
• उदाहरण: 1/2 – 1/3 = (3-2)/6 = 1/6

3. गुणा (Multiplication)

• दो परिमेय संख्याओं को घटाने के लिए: a/b x c/d = ac/bd
• उदाहरण: 1/2 x 1/3 = 1/6

4. भाग (Division)

• दो परिमेय संख्याओं को घटाने के लिए: a/b ÷ c/d = a/b ÷ d/c = ad/bc
• उदाहरण: 1/2 – 1/3 = 1/2 ÷ 3/1 = 3/2

इन संक्रियाओं के लिए यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि किसी भी संक्रिया के परिणामस्वरूप आने वाली संख्या भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए, बशर्ते कि भाग देने वाली संख्या शून्य न हो।

परिमेय संख्याओं का गुणात्मक व्युत्क्रम

परिमेय संख्याओं का गुणात्मक व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse) वह संख्या होती है जिसे किसी परिमेय संख्या के साथ गुणा करने पर परिणाम 1 प्राप्त होता है। किसी परिमेय संख्या p/q का गुणात्मक व्युत्क्रम q/p​ होता है, बशर्ते a/0 और b/0 हो।

गुणात्मक व्युत्क्रम की परिभाषा

यदि p/q​ एक परिमेय संख्या है (जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q/0), तो इसका गुणात्मक व्युत्क्रम q/p होगा।

उदाहरण:

1. परिमेय संख्या 3/4 का गुणात्मक व्युत्क्रम 4/3 ​ है:
   • 3/4 ×4/3 = 3×4/4×3 = 12/12 = 1
2. परिमेय संख्या −2/5 का गुणात्मक व्युत्क्रम −5/2 है:
   • −2/5× −5/2 = (−2)×(−5)/5×2 = 10/10 = 1
3. पूर्णांक 7 का गुणात्मक व्युत्क्रम 1/7 है (क्योंकि 7 को 7/1 के रूप में लिखा जा सकता है):
   • 7×1/7 = 1

ध्यान देने योग्य बातें:

• शून्य (0) का गुणात्मक व्युत्क्रम नहीं होता है क्योंकि शून्य से किसी भी संख्या को विभाजित करना संभव नहीं है।
• किसी भी संख्या और उसके गुणात्मक व्युत्क्रम का गुणनफल हमेशा 1 होता है।

परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) और अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) गणित की दो महत्वपूर्ण श्रेणियाँ हैं। आइए इन दोनों का विस्तार से अध्ययन करें:

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों (p) और (q) के अनुपात p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p ≠ 0 होता है।

विशेषताएँ:

• इन्हें एक सटीक भिन्न (fraction) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• इनका दशमलव विस्तार या तो समाप्त (terminating) होता है या आवर्ती (repeating) होता है।

उदाहरण:

• 1/2 = 0.5)
• 3/4 = 0.75)
• 1/3 = 0.3333…) (आवर्ती दशमलव)

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

विशेषताएँ:

• इन्हें एक सटीक भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
• इनका दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है और न ही आवर्ती होता है।

उदाहरण:

• π = 3.141592653… (यह दशमलव में न समाप्त होता है और न आवर्ती होता है)
• 2^1/2 = 1.414213562… (यह भी दशमलव में न समाप्त होता है और न आवर्ती होता है)
• e = 2.718281828… (प्राकृतिक लघुगणक का आधार)

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का तुलनात्मक अध्ययन:

1. परिभाषा:

• परिमेय संख्या: जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके।
• अपरिमेय संख्या: जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके।

1. दशमलव विस्तार:

• परिमेय संख्या: दशमलव विस्तार समाप्त होता है या आवर्ती होता है।
• अपरिमेय संख्या: दशमलव विस्तार न समाप्त होता है और न आवर्ती होता है।

1. उदाहरण:

• परिमेय संख्या: 1/2, 3/4, 1/3
• अपरिमेय संख्या: π, 2^1/2 , e

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच का संबंध:

• हर पूर्णांक एक परिमेय संख्या है।
• परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) बनाते हैं।
• परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का कोई सामान्य गुणक नहीं होता।

उपयोग और महत्त्व:

• परिमेय संख्याएँ दैनिक जीवन और गणितीय गणनाओं में उपयोगी होती हैं।
• अपरिमेय संख्याएँ गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण होती हैं, जैसे कि π वृत्तों और e प्राकृतिक लघुगणक में।

इन दोनों श्रेणियों की समझ हमें गणित और इसके अनुप्रयोगों में गहराई से समझने में मदद करती है।

गुणधर्म	परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)	अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)
परिभाषा	जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके	जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके
दशमलव विस्तार	समाप्त (terminating) या आवर्ती (repeating) होता है	न समाप्त (non-terminating) और न आवर्ती (non-repeating) होता है
उदाहरण	1/2, 3/4, 22/7	π, 21/2 , e
पूर्णांक	हर पूर्णांक एक परिमेय संख्या है	कोई पूर्णांक अपरिमेय संख्या नहीं है
समीकरण	p और q पूर्णांक होते हैं, और (q ≠ 0)	किसी भी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता
दशमलव उदाहरण	0.5, 0.75, 0.3333…	3.141592653…, 1.414213562…, 2.718281828…
गणित में उपयोग	दैनिक जीवन और गणितीय गणनाओं में	गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण
मिलकर बनाते हैं	वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) का हिस्सा	वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) का हिस्सा

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इन्हें भी देखे –

• भारतीय त्यौहार | दीपावली, होली, ईद, क्रिसमस, नवरात्रि, दुर्गा पूजा
• भारत के शहर एवं स्थान के उपनाम
• पूर्णांक | Integers
• लाभ और हानि
• भारतीय संविधान सभा और संविधान निर्माण