संख्याएँ | Numbers

हमारे दैनिक जीवन में संख्याएँ (Numbers) अनेक तरह से उपयोग में आती हैं। इन्ही संख्याओं को अक्सर अंक कहा जाता है। संख्याओं के बिना, हम चीजों, तारीख, समय, पैसे आदि की गिनती नहीं कर सकते। कभी-कभी इन संख्याओं का उपयोग माप के लिए किया जाता है और कभी-कभी उनका उपयोग लेबलिंग के लिए किया जाता है।

संख्याओं के गुण उन्हें उन पर अंकगणितीय संचालन करने में सक्षम बनाते हैं। इन संख्याओं को संख्यात्मक रूपों में और शब्दों में भी व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 को शब्दों में “दो” के रूप में लिखा जाता है, 25 को शब्दों में “पच्चीस” के रूप में लिखा जाता है, आदि। छात्र अधिक जानने के लिए 1 से 100 तक की संख्याओं को शब्दों में लिखने का अभ्यास कर सकते हैं।

गणित में संख्याओं के विभिन्न प्रकार होते हैं, जिन्हें हम सीखते हैं। वे प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ, विषम और सम संख्याएँ, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ आदि हैं। इनके अलावा, संख्याओं का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है जैसे कि संख्या श्रृंखला बनाना, गणित की तालिकाएँ बनाना आदि।

गणित में संख्याओं के नाम हिंदी में निम्नलिखित हैं:

अंक (Digits)

• 0 – शून्य (śūnya)
• 1 – एक (ek)
• 2 – दो (do)
• 3 – तीन (tīn)
• 4 – चार (cār)
• 5 – पाँच (pāṅc)
• 6 – छह (chaḥ)
• 7 – सात (sāt)
• 8 – आठ (āṭh)
• 9 – नौ (nau)

संख्याएँ (Numbers)

• 10 – दस (das)
• 11 – ग्यारह (gyārah)
• 12 – बारह (bārah)
• 13 – तेरह (terah)
• 14 – चौदह (caudah)
• 15 – पंद्रह (pandrah)
• 16 – सोलह (solah)
• 17 – सत्रह (satrah)
• 18 – अठारह (aṭhārah)
• 19 – उन्नीस (unnīs)
• 20 – बीस (bīs)
• 21 – इक्कीस (ikkīs)
• 22 – बाईस (bāīs)
• 23 – तेईस (teīs)
• 24 – चौबीस (caubīs)
• 25 – पच्चीस (paccīs)
• 26 – छब्बीस (chabbīs)
• 27 – सत्ताईस (sattāīs)
• 28 – अट्ठाईस (aṭṭhāīs)
• 29 – उनतीस (unatīs)
• 30 – तीस (tīs)
• 31 – इकतीस (iktīs)
• 32 – बत्तीस (battīs)
• 33 – तैंतीस (taintīs)
• 34 – चौंतीस (cauntīs)
• 35 – पैंतीस (paintīs)
• 36 – छत्तीस (chattīs)
• 37 – सैंतीस (saintīs)
• 38 – अड़तीस (aṛatīs)
• 39 – उनचालीस (unacālīs)
• 40 – चालीस (cālīs)
• 41 – इकतालीस (iktālīs)
• 42 – बयालीस (bayālīs)
• 43 – तैंतालीस (taintālīs)
• 44 – चवालीस (cavālīs)
• 45 – पैंतालीस (paintālīs)
• 46 – छियालीस (chiyālīs)
• 47 – सैंतालीस (saintālīs)
• 48 – अड़तालीस (aṛatālīs)
• 49 – उन्चास (uncās)
• 50 – पचास (pacās)
• 51 – इक्यावन (ikyāvan)
• 52 – बावन (bāvan)
• 53 – तिरपन (tirapan)
• 54 – चौवन (cauvan)
• 55 – पचपन (pacapan)
• 56 – छप्पन (chappan)
• 57 – सत्तावन (sattāvan)
• 58 – अट्ठावन (aṭṭhāvan)
• 59 – उनसठ (unasaṭh)
• 60 – साठ (sāṭh)
• 61 – इकसठ (ikasaṭh)
• 62 – बासठ (bāsaṭh)
• 63 – तिरसठ (tirasaṭh)
• 64 – चौंसठ (causaṭh)
• 65 – पैंसठ (painsaṭh)
• 66 – छियासठ (chiyāsaṭh)
• 67 – सड़सठ (saṛasaṭh)
• 68 – अड़सठ (aṛasaṭh)
• 69 – उनहत्तर (unahattar)
• 70 – सत्तर (sattar)
• 71 – इकहत्तर (ikahattar)
• 72 – बहत्तर (bahattar)
• 73 – तिहत्तर (tihattar)
• 74 – चौहत्तर (caubhattar)
• 75 – पचहत्तर (pacahattar)
• 76 – छिहत्तर (chihattar)
• 77 – सत्तहत्तर (sattahattar)
• 78 – अठहत्तर (aṭhahattar)
• 79 – उन्नासी (unnāsī)
• 80 – अस्सी (assī)
• 81 – इक्यासी (ikyāsī)
• 82 – बयासी (bayāsī)
• 83 – तिरासी (tirāsī)
• 84 – चौरासी (caurāsī)
• 85 – पचासी (pacāsī)
• 86 – छियासी (chiyāsī)
• 87 – सत्तासी (sattāsī)
• 88 – अट्ठासी (aṭṭhāsī)
• 89 – नवासी (navāsī)
• 90 – नब्बे (nabbē)
• 91 – इक्यानवे (ikyanavē)
• 92 – बानवे (bānavē)
• 93 – तिरानवे (tirānavē)
• 94 – चौानवे (cauranavē)
• 95 – पचानवे (pacānavē)
• 96 – छियानवे (chiyānavē)
• 97 – सत्तानवे (sattānavē)
• 98 – अट्ठानवे (aṭṭhānavē)
• 99 – निन्यानवे (ninyānavē)
• 100 – सौ (sau) or एक सौ (ek sau)

दशकों के नाम (Names of Decades)

30 – तीस
40 – चालीस
50 – पचास
60 – साठ
70 – सत्तर
80 – अस्सी
90 – नब्बे

बड़े संख्याओं के नाम (Names of Larger Numbers)

• 100 – सौ (sau)
• 200 – दो सौ (do sau)
• 300 – तीन सौ (tīn sau)
• 1,000 – हज़ार (hazār)
• 2,000 – दो हज़ार (do hazār)
• 100,000 – एक लाख (ek lākh)
• 1,000,000 – दस लाख (das lākh) or एक मिलियन (ek miliyan)
• 10,000,000 – एक करोड़ (ek karoṛ)
• 100,000,000 – दस करोड़ (Das karoṛ)
• 1,000,000,000 – अरब (aarab)
• 10,000,000,000 – दस अरब (das aarab)
• 100,000,000,000 – एक खरब (karab)

संख्या: एक परिचय

संख्या एक अंकगणितीय मान है जिसका उपयोग मात्रा को दर्शाने और गणना करने में किया जाता है। एक लिखित प्रतीक जैसे “2” जो किसी संख्या को दर्शाता है, उसे अंक के रूप में जाना जाता है। एक संख्या प्रणाली एक तार्किक तरीके से अंकों या प्रतीकों का उपयोग करके संख्याओं को दर्शाने के लिए एक लेखन प्रणाली है।

अंक प्रणाली के लाभ

• संख्याओं के एक उपयोगी समूह का प्रतिनिधित्व करती है
• किसी संख्या की अंकगणितीय और बीजगणितीय संरचना को दर्शाती है
• मानक प्रतिनिधित्व प्रदान करती है

हम अन्य सभी संख्याओं को बनाने के लिए 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करते हैं। इन अंकों की सहायता से हम अनंत संख्याएँ बना सकते हैं। उदाहरण के लिए: 15, 3796, 2258, आदि।

संख्या गिनना

हम अलग-अलग चीज़ों या वस्तुओं को गिनने के लिए संख्याओं का इस्तेमाल करते हैं जैसे 1, 2, 3, 4, आदि। मनुष्य पिछले हज़ारों सालों से चीज़ों को गिनने के लिए संख्याओं का इस्तेमाल करते आ रहे हैं। उदाहरण के लिए, खेत में 7 गायें हैं। गिनती की संख्या 1 से शुरू होती है और अनंत तक जाती है।

संख्या शून्य (0)

संख्या “शून्य (0)” की अवधारणा गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका रखती है और इसे स्थान मान संख्या प्रणाली में प्लेसहोल्डर के रूप में उपयोग किया जाता है। संख्या 0, वास्तविक संख्याओं और अन्य बीजीय संरचनाओं के लिए एक योगात्मक पहचान के रूप में कार्य करती है। हम संख्या “0” का उपयोग कुछ भी नहीं दिखाने के लिए करते हैं। उदाहरण के लिए, 3 सेब थे, लेकिन अब कोई नहीं है। कुछ भी नहीं दर्शाने के लिए, हम शून्य का उपयोग कर सकते हैं।

संख्याओं के प्रकार

संख्याओं को कई समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है जिन्हें संख्या प्रणाली के रूप में जाना जाता है। गणित में संख्याओं के विभिन्न प्रकार हैं:

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)
   • प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की संख्याएँ कहलाती हैं जिनमें 1 से अनंत तक के धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
   • इन्हें “N” के रूप में दर्शाया जाता है और इसमें N = {1, 2, 3, 4, 5, ……….} शामिल होता है।
2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers):
   • पूर्ण संख्याओं को गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के रूप में जाना जाता है और इनमें कोई भिन्नात्मक या दशमलव भाग शामिल नहीं होता है।
   • इसे “W” के रूप में दर्शाया जाता है और पूर्ण संख्याओं के समूह में W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} शामिल होता है।
3. पूर्णांक (Integers):
   • पूर्णांक सभी पूर्ण संख्याओं का समूह है, लेकिन इसमें प्राकृतिक संख्याओं का ऋणात्मक समूह भी शामिल है।
   • “Z” पूर्णांकों को दर्शाता है और पूर्णांकों का समूह Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} है।
4. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers):
   • सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक, भिन्नात्मक और दशमलव संख्याएँ जिनमें काल्पनिक संख्याएँ नहीं होतीं, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।
   • इसे “R” चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
5. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers):
   • कोई भी संख्या जिसे एक संख्या और दूसरी संख्या के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, परिमेय संख्या के रूप में जानी जाती है।
   • इसका मतलब है कि कोई भी संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q ≠ 0।
   • प्रतीक “Q” परिमेय संख्याओं को दर्शाता है।
6. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers):
   • वह संख्या जिसे एक के ऊपर दूसरे के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
   • इन्हें प्रतीक “P” द्वारा दर्शाया जाता है।
7. जटिल संख्याएँ (Complex Numbers):
   • वह संख्या जिसे a + bi के रूप में लिखा जा सके, जहाँ “a और b” वास्तविक संख्याएँ हैं और “i” एक काल्पनिक संख्या है, जटिल संख्या कहलाती है।
   • इन्हें “C” के रूप में जाना जाता है।
8. काल्पनिक संख्याएँ (Imaginary Numbers):
   • काल्पनिक संख्याएँ जटिल संख्याएँ हैं जिन्हें वास्तविक संख्या और काल्पनिक इकाई “i” के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
   • उदाहरण के लिए, 3i, -2i, आदि।

इन विभिन्न प्रकार की संख्याओं का अध्ययन हमें गणित के कई क्षेत्रों में गहनता से जानने और समझने में मदद करता है।

गणित में अन्य महत्वपूर्ण संख्याएँ भी हैं, जैसे सम संख्याएँ, विषम संख्याएँ, अभाज्य संख्याएँ, और भाज्य संख्याएँ। इन्हें नीचे दिए गए तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:

1. सम संख्याएँ (Even Numbers):
   • वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं, सम संख्याएँ कहलाती हैं।
   • ये धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक हो सकते हैं, जैसे -42, -36, -12, 2, 4, 8 इत्यादि।
2. विषम संख्याएँ (Odd Numbers):
   • वे संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
   • ये धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पूर्णांक हो सकते हैं, जैसे -3, -15, 7, 9, 17, 25 इत्यादि।
3. अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers):
   • अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं।
   • दूसरे शब्दों में, वह संख्या जो केवल 1 और स्वयं संख्या से विभाजित होती है, अभाज्य संख्या कहलाती है।
   • उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, आदि।
4. भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers):
   • भाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
   • उदाहरण के लिए, 4 एक भाज्य संख्या है क्योंकि यह 1, 2, और 4 से विभाजित होती है।
   • भाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं: 6, 8, 9, 10 आदि।

नोट: संख्या “1” न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

संख्या श्रृंखला

गणित में, संख्या श्रृंखला में संख्याओं की एक श्रृंखला होती है जिसमें अगला पद पिछले पद में स्थिर पद को जोड़कर या घटाकर प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला 1, 3, 5, 7, 9, … पर विचार करें। इस श्रृंखला में, अगला पद पिछले पद में स्थिर पद “2” जोड़कर प्राप्त किया जाता है। संख्या श्रृंखला के विभिन्न प्रकार होते हैं, जैसे:

1. परफेक्ट स्क्वायर श्रृंखला (Perfect Square Series):
   • इसमें हर पद एक संपूर्ण वर्ग (परफेक्ट स्क्वायर) होता है।
   • उदाहरण: 1, 4, 9, 16, 25, …
2. दो-चरण प्रकार श्रृंखला (Two-Step Series):
   • इसमें हर दूसरे पद के बाद एक निश्चित पैटर्न दोहराता है।
   • उदाहरण: 1, 3, 2, 4, 3, 5, …
3. अजीब आदमी श्रृंखला (Odd Man Series):
   • इसमें कुछ विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं जो किसी पैटर्न में फिट नहीं होतीं।
   • उदाहरण: 1, 2, 4, 8, 7, 16, …
4. परफेक्ट क्यूब श्रृंखला (Perfect Cube Series):
   • इसमें हर पद एक संपूर्ण घन (परफेक्ट क्यूब) होता है।
   • उदाहरण: 1, 8, 27, 64, 125, …
5. जियोमीट्रिक श्रृंखला (Geometric Series):
   • इसमें हर पद पिछले पद का एक निश्चित अनुपात होता है।
   • उदाहरण: 2, 4, 8, 16, 32, …
6. मिश्रित श्रृंखला (Mixed Series):
   • इसमें विभिन्न प्रकार के पैटर्नों का मिश्रण होता है।
   • उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 16, 19, …

विशेष संख्याएँ

1. कार्डिनल संख्या (Cardinal Numbers):
   • कार्डिनल संख्या यह परिभाषित करती है कि किसी सूची में किसी चीज़ की कितनी संख्याएँ हैं।
   • उदाहरण: एक, पाँच, दस, आदि।
2. क्रमसूचक संख्याएँ (Ordinal Numbers):
   • क्रमसूचक संख्याएँ किसी सूची में किसी चीज़ की स्थिति बताती हैं।
   • उदाहरण: पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, इत्यादि।
3. नाममात्र संख्या (Nominal Numbers):
   • नाममात्र संख्या का उपयोग केवल नाम के रूप में किया जाता है। यह किसी वस्तु का वास्तविक मूल्य या स्थिति नहीं बताती है।
4. पाई (π):
   • पाई एक विशेष संख्या है, जो लगभग 3.14159 के बराबर है। पाई (π) को वृत्त की परिधि को वृत्त के व्यास से विभाजित करने के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
   • (अर्थात,) परिधि/व्यास = π = 3.14159.
5. यूलर की संख्या (e):
   • यूलर की संख्या गणित में महत्वपूर्ण संख्याओं में से एक है, और यह लगभग 2.7182818 के बराबर है। यह एक अपरिमेय संख्या है और यह प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।
6. गोल्डन रेशियो (φ):
   • गोल्डन रेशियो एक विशेष संख्या है और यह लगभग 1.618 के बराबर है। यह एक अपरिमेय संख्या है और इसके अंक किसी पैटर्न का पालन नहीं करते हैं।

संख्याओं के गुण

संख्याओं के कई गुण होते हैं जो उन्हें गणना और माप के लिए उपयोगी बनाते हैं। इनमें से कुछ प्रमुख गुण हैं:

1. अंकगणितीय गुण (Arithmetic Properties): संख्याओं के गुणन, भाग, योग, और घटाव के संचालन।
2. बीजगणितीय गुण (Algebraic Properties): समीकरणों और व्यंजकों में संख्याओं का व्यवहार।
3. त्रिकोणमितीय गुण (Trigonometric Properties): कोणों और लंबाईयों के संबंध में संख्याओं का उपयोग।
4. लघुगणक और घातांक (Logarithmic and Exponential Properties): संख्याओं की लघुगणकीय और घातांकीय वृद्धि।

इन गुणों और प्रकारों को समझकर, गणित के विभिन्न क्षेत्रों में संख्याओं का सही और सटीक उपयोग किया जा सकता है।

अंकगणितीय गुण (Arithmetic Properties)

अंकगणितीय गुण (Arithmetic Properties) गणित के मूलभूत संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, और भाग) के नियमों को परिभाषित करते हैं। ये गुण संख्याओं के साथ काम करने में मदद करते हैं और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में सहायक होते हैं। यहाँ कुछ प्रमुख अंकगणितीय गुणों का वर्णन किया गया है:

1. विनिमेय गुण (Commutative Property):
   • यह गुण बताता है कि जोड़ और गुणा में संख्याओं का क्रम बदलने पर परिणाम नहीं बदलता।
   • जोड़ के लिए: (a + b = b + a)
   • गुणा के लिए: (a x b = b x a)
   • उदाहरण:
     • (2 + 3 = 3 + 2)
     • (2 x 3 = 3 x 2)
2. साहचर्य गुण (Associative Property):
   • यह गुण बताता है कि जोड़ और गुणा में संख्याओं को समूहबद्ध करने का तरीका बदलने पर परिणाम नहीं बदलता।
   • जोड़ के लिए: (a + b) + c = a + (b + c)
   • गुणा के लिए: (a x b) x c = a x (b x c)
   • उदाहरण:
     • (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
     • (1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3)
3. वितरण गुण (Distributive Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को संख्याओं के योग पर गुणा करने से वही परिणाम आता है जैसे उन संख्याओं को अलग-अलग गुणा करके और फिर परिणामों को जोड़कर।
   • गुणा पर जोड़: a x (b + c) = a x b + a x c
   • उदाहरण:
     • 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4
       ⇒2 x 7 = 6 + 8)
       ⇒(14 = 14)
4. समापन गुण (Closure Property):
   • यह गुण बताता है कि यदि दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ा या गुणा किया जाए, तो परिणाम भी एक वास्तविक संख्या होगा।
   • जोड़ के लिए: (a + b = c)
   • गुणा के लिए: (a x b = c)
   • उदाहरण:
     • (1 + 2 = 3)
5. पहचान गुण (Identity Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या में शून्य जोड़ने या 1 से गुणा करने पर वह संख्या अपरिवर्तित रहती है।
   • जोड़ के लिए: (a + 0 = a)
   • गुणा के लिए: (a x 1 = a)
   • उदाहरण:
     • (5 + 0 = 5)
     • (5 x 1 = 5)
6. योज्य व्युत्क्रम (Additive Inverse):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को उसकी ऋणात्मक संख्या में जोड़ने पर परिणाम शून्य होता है।
   • योज्य व्युत्क्रम के लिए: a + (-a) = 0
   • उदाहरण:
     • 3 + (-3) = 0
7. गुणनात्मक व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse):
   • यह गुण बताता है कि 0 को छोड़कर किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर परिणाम 1 प्राप्त होता है।
   • गुणनात्मक व्युत्क्रम के लिए: a x 1/a = 1
   • उदाहरण:
     • (23 x 1/23 = 1)
8. शून्य गुणनफल गुण (Zero Multiplication Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है।
   • गुण: यदि (a x b = 0), तो (a = 0) या (b = 0)।
   • उदाहरण:
     • (7 x 0 = 0)
     • (0 x 6 = 0)
9. प्रतिवर्ती गुण (Reflexive Property):
   • यह गुण बताता है कि कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।
   • गुण: (a = a)
   • उदाहरण:
     • (9 = 9)

ये अंकगणितीय गुण गणितीय संचालन और समीकरणों को समझने और हल करने में मदद करते हैं।

बीजगणितीय गुण (Algebraic Properties)

बीजगणितीय गुण (Algebraic Properties) उन नियमों और गुणों का वर्णन करते हैं जिनका उपयोग बीजगणितीय समीकरणों और एक्सप्रेशनों को हल करने और सरल बनाने में किया जाता है। यहाँ कुछ प्रमुख बीजगणितीय गुणों का वर्णन है:

1. विनिमेय गुण (Commutative Property):
   • यह गुण बताता है कि जोड़ और गुणा में संख्याओं का क्रम बदलने पर परिणाम नहीं बदलता।
   • जोड़ के लिए: (a + b = b + a)
   • गुणा के लिए: (ab = ba)
   • उदाहरण:
     • (x + y = y + x)
     • (xy = yx)
2. साहचर्य गुण (Associative Property):
   • यह गुण बताता है कि जोड़ और गुणा में संख्याओं को समूहबद्ध करने का तरीका बदलने पर परिणाम नहीं बदलता।
   • जोड़ के लिए: (a + b) + c = a + (b + c)
   • गुणा के लिए: (ab)c = a(bc)
   • उदाहरण:
     • (x + y) + z = x + (y + z)
     • (xy)z = x(yz)
3. वितरण गुण (Distributive Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को संख्याओं के योग या अंतर पर गुणा करने से वही परिणाम आता है जैसे उन संख्याओं को अलग-अलग गुणा करके और फिर परिणामों को जोड़कर या घटाकर।
   • गुणा पर जोड़: a(b + c) = ab + ac
   • गुणा पर अंतर: a(b – c) = ab – ac
   • उदाहरण:
     • x(y + z) = xy + xz
     • x(y – z) = xy – xz
4. पहचान गुण (Identity Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या में शून्य जोड़ने या 1 से गुणा करने पर वह संख्या अपरिवर्तित रहती है।
   • जोड़ के लिए: (a + 0 = a)
   • गुणा के लिए: (a x 1 = a)
   • उदाहरण:
     • (x + 0 = x)
     • (X x 1 = x)
5. योज्य व्युत्क्रम (Additive Inverse):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को उसकी ऋणात्मक संख्या में जोड़ने पर परिणाम शून्य होता है।
   • योज्य व्युत्क्रम के लिए: a + (-a) = 0
   • उदाहरण:
     • x + (-x) = 0
6. गुणनात्मक व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse):
   • यह गुण बताता है कि 0 को छोड़कर किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर परिणाम 1 प्राप्त होता है।
   • गुणनात्मक व्युत्क्रम के लिए: (a x 1/a = 1)
   • उदाहरण:
     • (a x 1/a = 1) (जहाँ (a ≠ 0)
7. शून्य गुणनफल गुण (Zero Multiplication Property):
   • यह गुण बताता है कि किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है।
   • गुण: (a x 0 = 0)
   • उदाहरण:
     • (X x 0 = 0)
8. समापन गुण (Closure Property):
   • यह गुण बताता है कि यदि दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ या गुणा किया जाए, तो परिणाम भी एक वास्तविक संख्या होगी।
   • जोड़ के लिए: (a + b) एक वास्तविक संख्या है।
   • गुणा के लिए: (a x b) एक वास्तविक संख्या है।
   • उदाहरण:
     • (x + y) एक वास्तविक संख्या है।
     • (z x y) एक वास्तविक संख्या है।

ये बीजगणितीय गुण बीजगणितीय समीकरणों को हल करने और गणना को सरल बनाने में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

त्रिकोणमितीय गुण (Trigonometric Properties)

त्रिकोणमितीय गुण (Trigonometric Properties) त्रिकोणमिति के विभिन्न कार्यों और समीकरणों के संबंध को परिभाषित करते हैं। ये गुण विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, टैन्जेंट, आदि) के उपयोग को आसान बनाते हैं और इन्हें समझने में मदद करते हैं। यहाँ कुछ प्रमुख त्रिकोणमितीय गुणों का वर्णन है:

1. पाइथागोरस पहचान (Pythagorean Identities):
   • यह पहचान पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित होती है।
   • साइन और कोसाइन: sin²θ+cos²θ=1
   • टैन्जेंट और सेकेंट: 1+tan²θ=sec²θ
   • कोटैन्जेंट और कोसेकेंट: 1+cot^⁡2θ=csc⁡²θ
2. कोफंक्शन पहचान (Cofunction Identities):
   • यह गुण बताता है कि एक कोण का एक त्रिकोणमितीय कार्य दूसरे कोण के कोफंक्शन के बराबर होता है।
   • sin(90^∘−θ)=cosθ
   • cos(90^∘−θ)=sinθ
   • tan(90^∘−θ)=cotθ
   • cot(90^∘−θ)=tanθ
   • sec(90^∘−θ)=cscθ
   • csc(90^∘−θ)=secθ
3. दोगुने कोण की पहचान (Double-Angle Identities):
   • यह गुण बताता है कि किसी कोण के दोगुने कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं।
   • sin2θ = 2sinθcosθ
   • cos²θ = cos²θ−sin²θ
   • tan2θ = 2tanθ/2tanθ​
4. आधे कोण की पहचान (Half-Angle Identities):
   • यह गुण बताता है कि किसी कोण के आधे कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं।
   • sinθ/2 = ± Under root 1−cosθ​​/2
   • cosθ/2 ​=± Under root 1+cosθ​/2
   • tanθ/2 ​=± Under root 1+cosθ/1−cosθ ​​=sinθ/1+cosθ ​= 1−cosθ​/sinθ
5. जोड़ और अंतर पहचान (Sum and Difference Identities):
   • यह गुण बताता है कि दो कोणों के जोड़ या अंतर के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं।
   • साइन के लिए:
     • sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b
     • sin(a−b)=sin a cos b − cos a sin b
   • कोसाइन के लिए:
     • cos (a+b)=cos a cos b−sin a sin b
     • cos (a−b)=cos a cos b+sin a sin b
   • टैन्जेंट के लिए:
     • tan(a+b)= tan a+tan b / tan a+tan b​
     • tan(a−b)= tan a tan b/1+tana−tanb​
6. उलट गुण (Reciprocal Identities):
   • यह गुण त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रम कार्यों के संबंध को दर्शाता है।
   • sinθ= 1/cscθ
   • cosθ= 1/secθ1
   • tanθ= 1/cotθ1
   • cscθ= 1/sinθ1
   • secθ= 1/cosθ1
   • cotθ= 1/tanθ1
7. सम कोण और विषम कोण गुण (Even-Odd Identities):
   • यह गुण त्रिकोणमितीय कार्यों के सम और विषम गुणों को दर्शाता है।
   • sin(−θ)=−sinθ (विषम)
   • cos(−θ)=cosθ (सम)
   • tan(−θ)=−tanθ (विषम)
   • csc(−θ)=−cscθ (विषम)
   • sec(−θ)=secθ (सम)
   • cot(−θ)=−cotθ (विषम)

ये त्रिकोणमितीय गुण विभिन्न त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने और त्रिकोणमितीय कार्यों को सरल बनाने में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

लघुगणक और घातांक (Logarithmic and Exponential Properties)

लघुगणक और घातांक गणित के महत्वपूर्ण क्षेत्रों में से हैं, जो अक्सर एक दूसरे से जुड़े रहते हैं। इनके गुण (Properties) का उपयोग समीकरणों को हल करने, डेटा को मॉडल करने, और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है। यहाँ लघुगणक और घातांक के मुख्य गुणों का विवरण दिया गया है:

लघुगणक के गुण (Properties of Logarithms)

1. लघुगणक का गुणन गुण (Product Property of Logarithms):
   • log_b​(xy)= log_b​x+log_b​y
   • उदाहरण: log⁡₂(8×4)=log⁡₂8+log⁡₂4
2. लघुगणक का भाग गुण (Quotient Property of Logarithms):
   • logb ​(x/y​)=log_b​x−log_b​y
   • उदाहरण: log_⁡3(273)=log_⁡327−log_⁡33
3. लघुगणक का घात गुण (Power Property of Logarithms):
   • logb​(x^r)=r log_b​x
   • उदाहरण: log₅​(25³) =3 log₅​25
4. आधार परिवर्तन सूत्र (Change of Base Formula):
   • log_b​x = log_k​x/ log_k​b
   • उदाहरण: log2​8 = log₁₀​8/ log₁₀​810
5. लघुगणक की पहचान (Identity Property of Logarithms):
   • log_b​b=1
   • उदाहरण: log⁡₇7=1
6. शून्य लघुगणक गुण (Zero Logarithm Property):
   • lo_gb​ 1 = 0
   • उदाहरण: log_5​1=0

घातांक के गुण (Properties of Exponents)

1. घात गुणन गुण (Product of Powers Property):
   • a^m × aⁿ=a^m+n
   • उदाहरण: 2³×2⁴=2³⁺⁴=2⁷
2. घात भाग गुण (Quotient of Powers Property):
   • a^m/a ⁿ​ = a^m−n
   • उदाहरण: 5⁶ – 5²​=5⁶⁻²=5⁴
3. घात गुण (Power of a Power Property):
   • (a^m)ⁿ=a^m×n
   • उदाहरण: (3²)³=3^2×3=3⁶
4. घात गुणनफल गुण (Power of a Product Property):
   • (ab)ⁿ=aⁿbⁿ
   • उदाहरण: (2×3)⁴=2⁴×3⁴
5. घात भागफल गुण (Power of a Quotient Property):
   • (a/b​)ⁿ=aⁿ/b^n​
   • उदाहरण: (4/5​)³=4³5³
6. शून्य घात गुण (Zero Exponent Property):
   • a⁰=1 (जहाँ a≠0)
   • उदाहरण: 17⁰=1
7. ऋणात्मक घात गुण (Negative Exponent Property):
   • a⁻ⁿ = 1/aⁿ
   • उदाहरण: 2⁻³= 1/2^3​= 1/8

लघुगणक और घातांक के बीच संबंध

लघुगणक और घातांक के बीच का संबंध महत्वपूर्ण है, क्योंकि लघुगणक घातांक का उल्टा होता है।

• यदि (a^x = b), तो log^a​b=x
• उदाहरण: (2³ = 8), तो log²​8=3

इन गुणों का उपयोग गणित में विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने और गणना करने में किया जाता है।

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इन्हें भी देखें –

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